TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG
DOANH NGHIỆP

Dưới đây là bài báo khoa học “Phương pháp bình phương cực tiểu” của ThS.Nguyễn Thị Huệ, Bộ môn : Cơ Bản cơ Sở, Đại học Dân lập Hải Phòng.

Summarization

The least squares method

The method of least squares assumes that the best-fit curve of a given type is the curve that has the minimal sum of the deviations squared (least square error) from a given set of data.

Suppose that the data points are (x₁,y₁), (x₂, y₂), … , (x_n, y_n) where (x_i,y_i) is the independent variable and (x_i,y_i) is the dependent variable. The fitting curve (x_i,y_i) has the deviation (error) (x_i,y_i)from each data point,

The method of least squares is a standard approach to the approximate solution of overdetermined systems, i.e., sets of equations in which there are more equations than unknowns. "Least squares" means that the overall solution minimizes the sum of the squares of the errors made in the results of every single equation.

The most important application is in data fitting.

1. GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp bình phương bé nhất thường được dùng để lập công thức thực nghiệm. Giả sử cần tìm mối quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x và y, muốn thế ta tiến hành thí nghiệm rồi quan sát, đo đạc, ta nhận được bảng tương ứng:

Việc từ bảng trên lập ra mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực nghiệm. Nói chung việc tìm ra hàm số f(x) là gần đúng, việc tìm ra hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu sẽ rất phức tạp nếu không biết trước dạng của hàm số xấp xỉ. Một trong các hàm số xấp xỉ đã biết và rất hay dùng trong các bài toán thực tế có dạng:

a) y = ax + b

b) y = ax² + bx + c

2) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X + B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.

+) Vì các cặp số (x₁,y₁), (x₂, y₂), … , (x_n, y_n) nhận được từ thí nghiệm chỉ là những giá trị gần đúng của x, y nên chúng không hoàn toán là nghiệm đúng của phương trình y = ax + b nghĩa là:

y₁ – ax₂ – b = v₁

y₂ – ax₂ – b = v₂

………………..

y_n – ax_n – b = v_n

trong đó các v_i là các sai số.

Phương pháp bình phương bé nhất nhằm xác định các các hệ số a và b sao cho tổng bình phương của các sai số nói trên là bé nhất.

Nghĩa là :

Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình:

Rút gọn ta có hệ sau:

3) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X2 + BX + C BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.

Hàm hồi quy có dạng Y = ax² + bx + c

Sai số : v_i = (ax² + bx + c ) – y_i với i = 1, 2 ,…, n

Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là:

Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:

Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau:

Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c

+) lập bảng dạng sau:

4> VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN HỢP KIM

Trong hợp kim, ta có bảng số liệu về phần trăm lượng chì và điểm chảy tương ứng q⁰C . Tìm quan hệ hàm giữa nhiệt độ và lượng chì trong hợp kim.

*> Giải bài toán trên bằng phương pháp bình phương cực tiểu

+) Theo phương pháp bình phương cực tiểu có: q = a₀ + a₁p

+) Lập bảng tính toán:

Vậy áp dụng công thức tính a₀ và a₁ ta được phương trình hồi quy như sau:

q = 95,3530 + 2,2337p

Sai số của phương pháp:

Sai số xác suất được tính bởi công thức:

Vậy hàm hồi quy có dạng sau: q = 95,3530 + 2,2337p ± 1,7

KẾT LUẬN

Với cùng dữ liệu đầu vào nhưng khi giải theo 3 phương pháp ta được kết qủa như sau:

+) Phương pháp bình phương bé nhất: q = 95,3530 + 2,2337p ± 1,7

+) Phương pháp thương sai phân: q = 97,35175 + 2,20368 p ± 1,8

+) Phương pháp bình quân: q = 92,6547 + 2,2745 p ± 1,8

Nói chung về cách làm thì phương pháp bình quân là phương pháp đơn giản nhất, nhưng cũng khá hiệu quả. Phương pháp bình phương bé nhất tỏ ra hiệu quả hơn, tính toán không quá phức tạp trong việc giải quyết bài toán, còn phương pháp thương sai phân có độ phức tạp nằm giữa hai phương pháp trên.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] : Dương Thuỷ Vỹ, Phương pháp tính, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2002.

[2]: Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2001.

Nội dung đính kèm: Phuong phap binh phuong cuc tieu.pdf